Mise en oeuvre des concepts principaux Aurelien Augier IFÉ ENS de Lyon Professeur de SV-STU Lycée Balzac Tours

aurelien.augier@ac-orleans-tours.fr

Gérard Vidal Directeur de collection IFÉ ENS de Lyon 2015 Cette oeuvre est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International Les sciences de la Terre font fréquemment appel à des procédures de modélisation. Cependant les termes modèle et modélisation sont hautement polysémiques : les méthodes de modélisation analogique ou numérique utilisent un même vocabulaire pour désigner des concepts proches mais sensiblement différents. Nous aborderons les aspects numériques de la modélisation, en nous basant sur l'étude de la déformation du Piton de la Fournaise après sa grande éruption d'Avril 2007. L'utilisation du logiciel QtModGPS permettra d'approfondir les concepts de modèle physique, modèle direct, modèle inverse, simulation et inversion, que nous mettrons en pratique sur des données réelles.

Prérequis : avoir installé python xy sur une machin windows, ou bien les modules nécessaires sous une machine linux (instructions accessibles sur cette page) avoir téléchargé le logiciel QtModGPS (ainsi que sa documentation) (instructions accessibles sur cette page) L'éruption d'Avril 2007 est spectaculaire à plusieurs titres. Depuis que le volcan est surveillé, c'est lors de cette éruption qu'ont été émis les plus gros volumes et les plus importants débits de lave. Cette éruption est aussi marquée par l'effondrement du cône central sur plus de 300 mètres de haut, pourtant situé à plusieurs kilomètres de la fissure éruptive principale.

2015-11-12 Aurélien Augier Illustration mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International Une première emission de lave à la base de ce central a lieu le 30 mars mais ne dure que quelques heures. Le 2 avril, une fissure éruptive s'ouvre plusieurs km à l'est du cône central, dans les grandes pentes. Le 6 avril, le cône central s'effondre sur une hauteur de plus de 300 mètres, sans pour autant qu'il y ait d'emission de lave dans le cratère. L'effondrement est cependant associé à une augmentation du débit de lave au niveau de la fissure éruptive, marqué par des fontaines de lave d'environ 200 m de haut.

La déformation du volcan lors de cette éruption a été surveillée par GPS, inclinométrie et InSAR (interférométrie RADAR). Les données GPS montrent que cette déformation est complexe durant l'éruption et semble se dérouler en plusieurs étapes. Cette éruption est particulière dans la mesure où la déformation de l'édifice a perduré plus d'un an après la fin de l'éruption.

2015-11-12 Aurélien Augier Illustration mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International Les enregistrements de la déformation en fonction du temps mettent en évidence deux types de défrormation : des événements ponctuels à l'origine de fort déplacements (A : éruption du 30 mars, B : effondrement) et des événements plus lents, mais pouvant durer longtemps (1, 2 et 3).

Les données InSAR et GPS permettent d'indentifier des motifs spatiaux de déformation. La figure suivante montre la déformation cumulée du 1er mai 2007 au 1er mai 2008 (une année de déformation après la fin de l'éruption) : 2 motifs de déformation sont visibles, l'un au niveau du cône central, l'autre au niveau du flanc est du volcan. Il est interessant de remarquer que la disposition des stations GPS n'a pas pu permettre d'enregistrer la déformation du flanc est, mais que les données d'interférométrie ont pu mettre en évidence une déformation importante.

2015-11-12 Aurélien Augier Illustration mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International Déformation après la fin de l'éruption : 2 motifs sont visibles, l'un au niveau du flanc, l'autre au niveau du cône central. La déformation enregistrée au niveau du sommet indique une subsidence de l'ensemble du cône central. Celle au niveau du flanc suggère un glissement lent du flanc vers l'est. (images : A. Augier)

Ces données de déformation ne permettent pas de caractériser directement les processus à l'origine de cette déformation. Il convient donc dans un premier temps de caractériser les sources à l'origine de cette déformation (position, propriétés), ce que la modélisation nous permettra de faire. Nous nous focaliserons dans cette présentation à la déformation du cône central après la fin de l'éruption. Cette déformation est relativement simple et permettra de mieux appréhender la méthodologie des procédures de modélisation. A l'aide du logiciel QtModGPS, regardez les données pour différentes stations. Vous remarquerez qu'en fonction des stations, les événements ne sont pas toujours visibles, et/ou n'ont pas la même amplitude A l'aide du logiciel QtModGPS, changez la période d'intérêt (soit en choisissant une période prédéfinie, soit en modifiant les dates de début et de fin manuellement). Observez que la direction des déplacements varie en fonction du temps pour toutes les stations. Les termes modèle et modélisation couvrent différents concepts et sont souvent utilisés l'un pour l'autre. Nous nous concentrerons sur leurs sens en géophysique, et plus particulièrement sur les réalités qu'ils recouvrent en modélisation numérique. De manière générale, la modélisation numérique permet de comprendre des données acquises sur un système complexe (ici les données de déformation acquises sur le volcan). Elle utilise une version numérique simplifiée du système complexe de sorte à pouvoir le manipuler. Elle se base sur trois aspects fondamentaux : La théorie physique des processus que l'on étudie (ici la déformation) La comparaison des données acquises (observées) et reproduites de manière numériques (modélisées) (ici, les données GPS) La recherche des paramètres permettant de reproduire au mieux les données observées L'utilisation d'ordinateurs est utile sur deux aspects : la résolution des calculs complexes liés à la théorie physique des processus, et leur automatisation (recherche des paramètres optimaux). Ces calculs sont théoriquement faisable à la main, mais c'est une procédure très longue et fastidieuse Nous étudierons ces différents pans de la modélisation numérique sur l'exemple de la modélisation de la déformation post-éruptive du cone central du Piton de la Fournaise. Un modèle physique de déformation permet de calculer la déformation du sol due à une source définie par différents paramètres. Ces modèles sont développés par des physiciens spécialisés dans la mécanique des matériaux, et se basent sur certaines hypothèses simplificatrices. Par exemple, le modèle de Mogi permet de calculer la défromation d'un sol horizontal due à la variation de volume d'un réservoir sphérique contenu dans un encaissant purement homogène et élastique. Ces hypothèses ne sont que rarement satisfaites : un reservoir magmatique par exemple n'est jamais sphérique, un volcan n'est pas plat et souvent très hétérogène. Cependant, les erreurs dues à ces hypothèses sont souvent minimes face aux informations que l'on peut tirer de leur acceptation. Il existe des modèles physiques de déformation bien plus rafinés, qui permettent de prendre en compte des topographies réalistes, des géométries de source complexes, et des caractéristiques mécaniques de l'édifice particulières (prise en compte d'hétérogénéités, comportement mécanique complexe...). Ces modèles physiques de déformation sont dits "numériques" (par opposition à analytiques), ils permettent de réduire les hypothèses simplificatrices, en contrepartie de quoi ils nécessitent un temps de calcul généralement bien plus important.

2015-11-12 Aurélien Augier Illustration mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International En fonction des a priori que l'on a sur la source à l'origine de la déformation, il peut être judicieux d'utiliser tel ou tel modèle physique de déformation. Chaque modèle est caractérisé par différents paramètres de la source à l'origine de la déformation (position, forme, variation de volume...) et permet de calculer la déformation due à une source de paramètres donnés. (images : haut : Beauducel (IPGP), bas : Fukushima (OPGC))

Nous utiliserons un modèle physique particulièrement simple : il permet de calculer la déformation de la topographie due aux variations de volume (ou de pression) d'une source ponctuelle (c'est à dire sans rayon... c'est une simplification extrême de la géométrie d'une source).

2015-11-12 Aurélien Augier Illustration mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International Modèle de déformation d'une topographie due à une source ponctuelle dans un encaissant homogène et élastique. $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$ est un des coefficients de Lamé décrivant le comportement mécanique du volcan, $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}V$ la variation de volume de la source, $z$ , $d$ , $d_r$ la profondeur, la distance et la distance radiale entre le point de la topographie et la source. (figure : A. Augier)

On peut représenter notre modèle de déformation comme une fonction, qui prend en arguments d'entrée la topographie et les paramètres de la source, et qui donne en sortie les déplacements modélisés ${\mathrm{d}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}$ sur la topographie : $${\mathrm{d}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}=f(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e},x,y,z,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}V)$$ Nous disposons maintenant d'un modèle physique de déformation nous permettant de calculer la déformation de la topographie due à une source de position et de variation de volume fixées. On appelera "simulation" le fait de simplement calculer les déplacements dus à la source dont on a fixé les paramètres. Les déplacements calculés seront appelés "déplacements modélisées ${\mathrm{d}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}$ ". Nous disposons cependant de données réelles. Il est donc intéressant de comparer les déplacements modélisés fournis par le modèle physique pour une source donnée aux déplacements observés, mesurés par GPS. Pour estimer et quantifier la ressemblance des déplacements modélisées ${\mathrm{d}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}$ aux déplacements observés ${\mathrm{d}}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}$ , on calcule un coût, appelé misfit ou ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$ , qui correspond qualitativement à la somme des écarts entre déplacements modélisés et observés pour chaque station GPS : plus les déplacements observés seront proches des déplacements modélisés, plus la fonction coût sera faible, plus le modèle direct sera bon. La fonction permettant le calcul du coût directement à partir des paramètres de la source est appelée fonction coût (fonction objective en anglais). D'un point de vue formel, le calcul du coût s'écrit : $${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2=\underset{\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{S}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{d}}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{d}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}{)}^2$$ Pour plus de commodité, cette fonction coût sera normalisée et exprimée en % : elle quantifiera l'erreur des déplacements modélisés par rapport aux données observées : $${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2=\frac{\sum <!--\; \sum \; -->({\mathrm{d}}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{d}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}{)}^2}{\sum <!--\; \sum \; -->{{\mathrm{d}}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}}^2}\times <!--\; \times \; -->100$$ Afin d'estimer à l’œil la qualité d'un modèle, on a pour habitude de montrer les résidus, c'est à dire la quantité de déplacements qui «reste », que le modèle n'a pas permis de reproduire. A l'aide du logiciel QtModGPS, (encart données) choisissez la période sub-post-eruptif Allez dans l'onglet Modèle direct, puis lancez un calcul. Vous verrez les résultats modélisés, et les résidus pour la source par défaut Changez la position de la source, et essayez de trouver une source permettant d'obtenir une fonction coût la plus faible possible. La seule chose que nous pouvons faire pour le moment est de calculer les déplacements modélisés pour une position de source fixée et les comparer aux déplacements observés. Nous ne pouvons pas réaliser directement l'opération inverse, c'est à dire déterminer la position de la source correspondant aux déplacements observé, or c'est justement ce qui nous intéresse. L'opération permettant de caractériser cette position de source optimale est appelée inversion (en référence à l'opération inverse quand on résoud une équation du type a=bx : x=a/b, ou bien à l'inverse d'une fonction, ou bien à l'inversion matricielle) En d'autres termes, nous cherchons les paramètres de la source permettant de minimiser la fonction coût ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$ (c'est à dire permettant de reproduire au mieux les déplacements) Une démarche simple permettant d'estimer ces paramètres consiste à calculer énormément de modèles directs en faisant varier à chaque fois les paramètres de la source, puis à récupérer la combinaison de paramètres ayant permis d'obtenir le coût ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$ le plus faible. On comprend ainsi l'utilité d'un ordinateur qui peut calculer de manière répétitive et automatisée une grande quantité de modèles directs. La recherche d'une combinaison de paramètres optimale peut etre réalisée de manière plus subtile que la recherche systématique ou purement aléatoire. Il existe de nombreux algorithmes dits d'optimisation, qui permettent d'accélerer cette recherche, ce qui peut s'avérer très utile si le temps nécessaire au calcul d'un modèle direct est long ou si le nombre de paramètres pour décrire la source est important. Le logiciel QtModGPS est basé sur un algorithme génétique, qui s'inspire des processus de la sélection naturelle pour accélérer cette recherche. (voir ce lien pour plus d'informations sur l'algorithme génétique et son fonctionnement) Pour la même période que dans l'exemple précédent, allez dans l'onglet inversion Cliquez sur lancer inversion. Le logiciel va lancer une grande quantité de calculs. Quand les calculs sont finis, des graphiques apparaissent dans l'encart du haut. On constate qu'au début, le programme cherche des modèles très variés, amenant à des coût très variés. Plus le calcul progresse, plus les modèles trouvés ont un faible coût et sont similaires entre eux. On dit que l'inversion converge vers un meilleur modèle. Différentes options d'affichage vous permettent de voir comment l'inversion converge. Revenez dans l'onglet modèle direct : le logiciel vous montrera les paramètres du modèle inverse, ainsi que les déplacements modélisés et les résidus. Dès lors, nous obtenons une combinaisons de paramètres de la source permettant de reproduire au mieux les déplacements observés. L'expression "meilleur modèle" est souvent utilisée pour désigner le résultat de cette inversions. Quelques remarques cependant : bien entendu, cette expression ne fait pas référence au modèle physique de déformation utilisé : ce dernier a été fixé a priori, et n'est pas changé au cours de l'inversion. Peut être que l'utilisation d'un autre modèle physique de déformation aurait permis d'obtenir un coût ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$ bien plus faible. N'oublions pas que l'inversion donnera toujours un résultat, même si celui-ci ne reflète pas la réalité : par exemple, on peut rechercher quelle faille permettra de reproduire au mieux les déplacements dus à une chambre magmatique en cours de remplissage, on obtiendra donc un meilleur modèle, sans pour autant qu'il ait de sens ! On préfèrera donc parler "d'un meilleur modèle" plutôt que "du meilleur modèle". L'expression "modèle inverse"semble plus appropriée dans la mesure où elle sous-entend déjà ces aspect. Par ailleurs l'expression "meilleur modèle" ou "modèle inverse" peut faire référence : à la combinaison de paramètres de la source permettant de reproduire au mieux les déplacements observés (x, y, z et ΔV dans le cas de la source ponctuelle) aux déplacements modélisés en utilisant la combinaison de paramètres optimale au modèle direct permettant d'obtenir le coût le plus faible. Ces trois aspects sont mutuellement liés, mais reflètent cependant des aspects différents. Nous avons déjà dit qu'une inversion permettra toujours d'obtenir un résultat (un meilleur modèle, ou modèle inverse) même si les a priori nécessaires au choix du modèle physique de déformation sont contestables. L'inversion permet d'obtenir les paramètres de la source permettant de reproduire au mieux les déplacements observés, sans pour autant nous dire à quoi elle correspond. Dans l'exemple de la recherche de la source à l'origine de la subsidence post-éruptive, l'inversion donne comme résultat une source très superficielle en déflation (diminution du volume), dans le cône central.

2015-11-12 Aurélien Augier Illustration mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International Meilleur modèle obtenu après inversion pour les déplacements sommitaux post-éruptifs. La source trouvée est très superficielle, localisée dans le cône central. ( ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$ = 13%) (résultats obtenus à l'aide du logiciel QtModGPS)

Cette source ne peut pas correspondre à une chambre magmatique en cours de vidange (l'éruption est terminée) ou à une contraction thermique de la chambre : si elle avait été localisée à cet endroit, l'éruption n'aurait pas pu avoir lieu où elle a eu lieu : le magma ne peut pas descendre dans l'édifice (il ne peut que monter), et la fissure éruptive est localisée à une altitude inférieure. Par ailleurs l'effondrement n'est pas associé à une sortie de lave dans le cône. Le résultat de l'inversion ne permet donc pas de caractériser la source, mais juste de dire ce qu'elle n'est pas. Il faut donc faire appel à des données exterieures pour aider à l'interprétation du modèle inverse. Les données complémentaires (figure ci-dessous) montrent la présence d'un système hydrothermal actif et superficiel juste après l'effondrement et après l'éruption : de nombreuses fumerolles sont visibles, et perdurent après la fin de l'éruption.

2015-11-12 Aurélien Augier Illustration mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International Différentes mesures réalisées au niveau du cône central après l'effondrement A : Des mesures infra rouge montrent la présence d'anomalies de température importantes dans le cône après l'effondrement (localement 200°) (d'après Urai al. 2007) B : Juste après l'effondrement, les fumerolles sont extrêmement nombreuses, et expliquent les anomalies de température. (photo : B. Contarin, 7 avril 2007) C : Quelques jours après l'effondrement, de nombreuses fumerolles sont toujours visibles dans le cratère. D : Des mesures infra-rouge montrent que ces fumerolles sont toujours présentes après la fin de l'éruption (d'après Staudacher et al. 2009)

Couplées au résultat d'inversion, ces données complémentaires permettent de supposer que la source à l'origine de la déformation pourrait être ce système hydrothermal en cours de drainage, suite à son ouverture par l'effondrement. On peut ainsi proposer un modèle, cette fois ci conceptuel, pour expliquer cette subsidence post-éruptive.

2015-11-12 Aurélien Augier Illustration mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International Sources à l'origine de la subsidence post-éruptive : l'effondrement du 5 avril a permis d'initier le drainage du système hydrothermal. Ce drainage se manifeste par de fortes émissions de SO2 et l'apparition de fumerolles. Il a pour conséquence une perte de volume du système hydrothermal. La subsidence du cône est la conséquence de cette perte de volume. (A. Augier 2011)

Lorsque l'on parle de modélisation numérique, il conviendra donc de différencier les étapes auxquelles on fait référence, et de bien identifier les différents aspects du terme modèle. Modèle peut donc se référer à : au modèle physique utilisé (ici le modèle de déformation) à la combinaison de paramètres de la source (x, y, z et ΔV dans le cas de la source ponctuelle) aux données modélisés en utilisant une combinaison de paramètres. Ce sens de modèle est criticable et on lui préferera le terme de "résultat de simulation". à un modèle direct permettant d'obtenir une valeur du coût (comparaison entre données et résultats de simulation) à la combinaison de paramètres du modèle physique permettant la minimisation de la fonction coût (modèle inverse ou un meilleur modèle) Modélisation peut se référer : à la conception d'un modèle physique. Cette étape est souvent la plus complexe, puisqu'elle nécessite un travail théorique en amont, on ne fait généralement pas travailler les élèves sur cet aspect au fait de comparer les données observées aux données fournies par le modèle physique (obtention du coût du modèle direct) à la recherche des paramètres optimaux (minimisation de la fonction coût ou inversion) à l'obtention puis l'interprétation du modèle inverse : c'est en général ce que l'on demande aux élèves.

2015-11-12 Aurélien Augier Illustration mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International Ce schéma récapitule les étapes d'une procédure de modélisation numérique classique en sciences de la Terre. Cette procédure est généralisable à beaucoup de domaines de la géophysique (déformation, gravimétrie, sismique...)

On évitera d'utiliser le terme de modélisation lorsque l'on utilise le modèle physique sans comparaison aux données réelles, et on lui préferera le terme de simulation. Ces simulation peuvent être très utiles lorsque l'on cherche à anticiper un risque géologique : celui-ci n'a pas encore eu lieu, on ne peut donc pas comparer les données modélisées à des données réelles. En revanche, sous certaines hypothèses, ces simulations permettent d'établir des scénarios pouvant aider à la prise de décisions lors d'une crise. Il n'existe pas de conventions pour l'utilisation de tel ou tel terme dans tel ou tel contexte. Pour éviter les confusions, il est recommandé d'utiliser le terme "modèle" suivi d'un adjectif, ou bien de le remplacer par une expression plus explicite : Les activités proposées se basent sur la même éruption que celle traitée dans cet exemple, mais permettent de mettre en évidence d'autres processus. Ces activités nécessitent l'utilisation du logiciel QtModGPS Cette activité permet de localiser la position de la chambre magmatique du Piton de la Fournaise lors de l'éruption d'avril 2007. Elle peut être abordée sous deux angles différents : comprendre l'origine de l'effondrement ou bien anticiper une éruption volcanique. L'activité est téléchargeable en suivant ce lien Points du programme (B.O.) Commentaires Objectifs méthodologiques Participer à la conception et la mise en œuvre d’un protocole pour modéliser les déformations à la surface de la Terre. Cette activité ne permet pas l'élaboration d'un protocole, mais montre différents aspects de la modélisation (modèle physique et modèle direct à l'étape 3, comparaison aux données à l'étape 3, modèle inverse à l'étape 4). Valider ou invalider des hypothèses à partir des données de terrain et de celles issues de modèles. Les des données de terrain (GPS), et la procédure de modélisation permettent ici d'établir un mécanisme Percevoir la différence entre réalité et simulation (modélisation) Ici, le modèle physique extrêmement simpliste (modèle de déformation due à une source ponctuelle) permet d'amorcer une discussion sur la pertinence de la procédure de modélisation (trop simpliste ? Simple mais pertinent ?) Objectifs notionnels Recenser et organiser des informations pour apprécier l’aléa sismique ou volcanique et prévenir les risques pour les populations et les constructions. Les aspects risques peuvent être abordés en insistant sur le fait que les mesures ont été faites avant le début de l'éruption, la modélisation permettant de mettre en évidence une vidange du réservoir et une éruption imminente. Les magmas sont contenus dans des réservoirs magmatiques localisés, à plusieurs kilomètres de profondeur Déconstruire des a prioris : le magma ne vient pas du centre de la Terre Cette activité a pour but la sélection d'un site favorable pour l'implantation d'une usine géothermique. Elle se base sur différentes inversions et des documents complémentaires permettant de mettre en évidence la présence d'une chambre magmatique, d'un système hydrothermal actif ainsi qu'un taux de fracturation des roches. Le projet d'exploitation géothermique du volcan est abandonné depuis 2011 pour permettre le classement à l'UNESCO du Piton de la Fournaise (la présence d'une telle usine étant incompatible avec ce classement). Même si le projet n'est plus d'actualité, les méthodes proposées dans cette activité restent pertinentes. L'activité est téléchargeable en suivant ce lien La procédure de modélisation présente différents aspects pouvant être utilisables en TPE (association SVT/Math) sur plusieurs aspects Quantification de la qualité d'un modèle (calcul de la fonction coût) : ce point permet de faire entrer les mathématiques de manière pertinente dans un sujet de TPE à dominante Sciences de la Terre, sans pour autant qu'il n'y ait de blocages calculatoires Procédure d'inversion par utilisation d'algorithme génétique (voir ce lien pour plus d'informations sur l'algorithme génétique et son fonctionnement). Ce point est intéressant et hautement pluridisciplinaire car l'algorithme génétique est construit sur les principes de la sélection naturelle, sa construction demande des notions d'algorithmique compréhensibles par des élèves de première (l'algo étant au programme en math), et peut amener à une réflexion sur le finalisme (existe-il quelque chose à minimiser en biologie ?)

Python doit être installé sur votre machine. Des instruction pour l'installation de python et de tous les modules nécessaires au fonctionnement du logiciel sont indiqués dans le chapitre " Installation Python ", pour windows comme pour linux (ubuntu). Le logiciel est pour le moment accessible sur mon serveur personnel. L'archive fait 18 Mo et est récupérable en suivant ce lien, (windows comme pour linux). Une solution plus stable sera mise en place d'ici peu. Quand Python est convenablement installé sur votre machine, il suffit de double cliquer sur le fichier QtMod_GPS.py pour lancer le logiciel. QtModGPS a pour but de comprendre les différentes étapes d'une procédure de modélisation numérique en sciences de la Terre. Il se base sur la modélisation de la déformation du Piton de la Fournaise, enregistrée par GPS, lors de sa dernière grande éruption en avril 2007, et permet retrouver la source à l'origine de la déformation. QtModGPS permet de décomposer les 3 grandes étapes des procédures de modélisation : Etude et sélection des données pertinente Lancer des modèles directs en faisant varier les paramètres de la source à l'origine de la déformation Recherche d'un meilleur modèle (modèle inverse) Interprétation du modèle inverse obtenu à l'aide de données complémentaires L'utilisation de ce logiciel se décompose en 3 grandes étapes : Sélection des données que l'on souhaite utiliser pour la modélisation Lancement de modèles directs permettant la comparaison entre les données observées et les données modélisées pour une position de source particulière Recherche d'un meilleur modèle permettant de rechercher les paramètres de la source permettant de provoquer des déplacements les plus proches possibles des déplacements observés (inversion). Chaque étape fait l'objet d'un onglet spécifique dans l'interface L'interface est découpée en 4 blocs principaux : un sélecteur d'onglet d'étapes (voir paragraphe précédent) un encart permettant d'afficher les outils pour l'étape sélectionnée un encart d'affichage 2D : permet d'afficher différentes courbes, cartes, vecteurs de déplacements... un encart d'affichage 3D : permet d'afficher la topographie du volcan, ainsi que la position de la source à l'origine des déplacements simulés. Il est possible de réduire la taille de l'affichage 2D ou 3D, ou même d'en cacher un. Il suffit pour ça de passer la souris entre les deux cadres, puis de maintenir le clic gauche au moment où le pointeur de la souris change de forme.

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L'onglet de sélection de données permet : d'explorer les données GPS, en fonction du temps ou sous forme de vecteurs de sélectionner l'intervalle de temps pour lequel on souhaite modéliser la source à l'origine de la déformation de sélectionner les stations GPS qui seront prises en compte pour la modélisation L'onglet de sélection est découpé en différents blocs : sélection d'une station GPS sélection d'une période (intervalle de temps) pour la modélisation de la source à l'origine de la déformation Zone d'affichage des données pour une station en fonction du temps Zone d'affichage des données sous forme de vecteurs pour toutes les stations pour une période données Options d'affichage des vecteurs

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Lorsqu'une station GPS est sélectionnée, les composantes est/ouest, nord/sud et verticales des déplacements sont mises à jour dans l'encart de droite. Sont rajoutés à titre indicatifs : La période durant laquelle a eu lieu l'éruption (en rose) Le moment où le cratère central (le Dolomieu) s'est effondré (le 6 avril) La période sélectionnée pour la procédure de modélisation

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La visualisation des vecteurs de déplacements sépare les composantes horizontales et verticales des déplacements. Y sont représentés : La position des stations GPS (points jaunes) ainsi que leur nom. La station GPS sélectionnées, dont le nom apparait en rouge. L'image de fond correspond à une image prise en 2009, après l'effondrement

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Pour faciliter la visibilité des vecteurs, deux modes d'affichages sont disponibles : Affichage par norme : c'est la norme des vecteurs de déplacement qui est représentée. Les faibles déplacements ne sont parfois pas visibles. Affichage par couleur : tous les vecteurs ont la même norme. La quantité de déplacement est représentée à l'aide de couleurs. Ce type de représentation permet de mieux voir la direction des déplacements si la quantité de déplacement est faible.

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Le logiciel permet de modéliser la source à l'origine des déplacements ayant eu lieu entre deux dates. La sélection de la période d'intéret se fait dans l'encart Période : Période : permet la sélection d'une période pré-définie, durant laquelle la procédure de modélisation tourne bien. Les boutons début et fin permettent de définir une période en renseignant la date de début et la date de fin. Un calendrier s'ouvre lors du clic sur l'un de ces deux boutons, permettant à l'utilisateur de choisir la date qui l'intéresse Moyenner sur : Cette valeur définit un intervalle de temps sur lequel seront moyennées les valeurs de déplacement pour les dates de début et de fin. Cette moyenne permet d'éviter qu'une valeur aberrante n'ait trop de poids lors de l'inversion. L'intervalle de moyennage est indiqué entre deux barres bleues autour des dates d'intérêt, la valeur moyenne apparait sous la forme d'un gros point bleu

Les affichages des déplacements sous forme de vecteurs sont reactualisés en cas de changement de période. Il peut être pertinent de ne pas utiliser toutes les stations GPS lors d'une inversion. Seules les stations cochées dans la liste seront prises en compte lors de l'inversion Certaines stations n'ont enregistré aucune donnée exploitable sur l'une des deux dates encadrant la période d'intérêt. Dans ce cas, même si les stations sont cochées, elles ne seront pas prises en compte lors des calculs.

L'onglet de calcul d'un modèle direct permet : de définir les paramètres de la source (position, variation de volume) à l'origine de la déformation d'afficher la position de la source en 3D de lancer le calcul des déplacements modélisés et de les comparer aux données observées (calcul de misfit) d'afficher les données observées, les déplacements modélisés et les résidus

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On considère que la source à l'origine des déplacements est un point pouvant changer de volume. On dispose d'un modèle physique permettant de cacluler la déformation de chaque point du sol pour une variation de volume donnée d'une source positionnée à un endroit donné (Yamakawa[1955]). Les paramètres de la source sont : longitude : donnée en mètres (dans le quadrant UTM correspondant au Piton de la fournaise) latitude : donnée en mètres (dans le quadrant UTM correspondant au Piton de la fournaise) altitude : donnée en mètres variation de volume : donnée en mètres cubes. Si la case est cochée, le calcul se fera avec la valeur entrée. Si la case est décochée, la variation de volume optimale sera calculée de sorte à reproduire au mieux les déplacements observés.

Modèle de déformation d'une topographie due à une source ponctuelle dans un encaissant homogène et élastique. $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$ est un des coefficients de Lamé, $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}V$ la variation de volume de la source, $z$ , $d$ , $d_r$ la profondeur, la distance et la distance radiale entre le point de la topographie et la source.

On peut représenter notre modèle de déformation à l'aide d'une fonction, qui prend en arguments d'entrée la topographie et les paramètres de la source, et qui donne en sortie les déplacements modélisés dmod sur la topographie : $${\mathrm{d}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}=f(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e},x,y,z,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}V)$$ On appellera «modèle direct », l'évaluation de cette fonction pour des paramètres donnés de la source, sur une topographie donnée. Le bouton Lancer un calcul et comparer avec les données permet de calculer les déplacements dus à la source dont les paramètres viennent d'être définis. Pour estimer et quantifier la ressemblance des déplacements modélisées ${\mathrm{d}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}$ aux déplacements observés ${\mathrm{d}}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}$ , on calcule un coût, appelé misfit ou ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$ , qui correspond à la somme des écarts entre déplacements modélisés et observés pour chaque station GPS : plus les déplacements observés seront proches des déplacements modélisés, plus la fonction coût sera faible, plus le modèle direct sera bon. La fonction permettant le calcul du coût directement à partir des paramètres de la source est appelée fonction coût (fonction objective en anglais). D'un point de vue formel, le calcul du coût s'écrit : $${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2=\underset{\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{S}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{d}}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{d}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}{)}^2$$ Pour plus de commodité, cette fonction coût sera normalisée et exprimée en % : elle quantifiera l'erreur des déplacements modélisés par rapport aux données observées : $${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2=\frac{\sum <!--\; \sum \; -->({\mathrm{d}}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{d}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}{)}^2}{\sum <!--\; \sum \; -->{{\mathrm{d}}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}}^2}\times <!--\; \times \; -->100$$ Afin d'estimer à l’œil la qualité d'un modèle, on a pour habitude de montrer les résidus, c'est à dire la quantité de déplacements qui «reste », que le modèle n'a pas permis de reproduire. Après le lancement d'un calcul, l'encart d'affichage 2D montre les déplacements observés (composante horizontale et verticale), les déplacements modélisés ainsi que les résidus. Les résidus correspondent à la différence entre les déplacements observés et modélisés. L'inversion permet de rechercher les paramètres d'une source permettant de reproduire au mieux les déplacements observés. Cette interface permet : de définir les paramètres de l'inversion (paramètres d'algorithme génétique, voir plus loin) de lancer une inversion d'explorer les résultats de convergence de l'inversion

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L'inversion optimisae la recherche d'un meilleur modèle à l'aide d'un algorithme génétique (voir le paragraphe dédié à cet algorithme pour plus d'explications). Les paramètres par défaut permettent d'obtenir un résultat exploitable dans la majorité des situations. Certaines options sont modifiables : Inverser la variation de volume : par défaut, la variation de volume de la source n'est pas un paramètre pris en compte lors de l'inversion (seuls les 3 paramètres de position sont inversés). Pour chaque position de source, elle est recalculée pour reproduire au mieux les déplacements observer. Cocher cette case permet d'inverser la variation de volume, au même titre que les paramètres de position. Le calcul est en général plus long si la variation de volume est inversée. Supprimer sources au dessus de la surface : La position de la source est tirée à chaque itération de manière aléatoire. Il est donc possible que certaines sources soient tirées au dessus de la topographie. Cocher cette option permet de supprimer ces sources impossibles, mais rend le calcul un peu plus long. Paramètres de l'algorithme génétique : Il est possible de modifier les paramètres de l'algorithme. Chaque paramètre est expliqué dans le paragraphe dédié à l'algorithme. Afficher la position au cours du calcul : Cocher cette option permet de voir la position de la source tirée à chaque itération. Cette option permet de voir la progression de l'algorithme, mais a pour conséquence de le ralentir beaucoup. Cette option ne semble pas fonctionnelle sous windows.

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Après avoir lancé une inversion, le logiciel propose différents outils pour vérifier la convergence de l'optimisation. ParamVsIt : Affiche la valeur de chaque paramètre en fonction du numéro d'itération. Les graphiques montrent si la procédure d'optimisation converge vers une valeur unique ou non. La couleur des points peut correspondre soit à la valeur du misfit, soit au numéro d'itération. Le graphique du dessous présente la valeur du misfit en fonction du numéro d'itération.

ParamVsParam : Affiche la valeur de chaque paramètre en fonction de chaque autre paramètre. Cet affichage permet de voir si certains couples de paramètres sont corrélés entre eux. La couleur des points peut correspondre soit à la valeur du misfit, soit au numéro d'itération.

MisfitVsIt : Le graphique présente la valeur du misfit en fonction du numéro d'itération pour chaque source. Pour chaque itération, la valeur moyenne des misfits des modèles tirés est indiquée par un point rouge. Cet affichage permet de voir comment la procédure converge vers un meilleur modèle.

Imaginons un bateau cherchant le point le plus profond d'un lac. Il est capable de sonder la profondeur z (par exemple à l'aide d'un poids et d'une corde) à la longitude x et la latitude y. Le fait de sonder en un point donné est assimilable à une fonction coût de paramètres x et y, et la profondeur, au coût (ou misfit) de cette fonction pour un couple (xi,yi) donné. De nombreux algorithmes permettent d'optimiser la recherche du minimum d'une fonction (profondeur dans le cas du bateau, capacité à reproduire des déplacements dans le cas d'une source ponctuelle). Nous en utiliserons un, l'algorithme génétique, dont le principe est basé sur les mécanismes de la sélection naturelle.

On définit : un gène : ce sera l'un des paramètres de la fonction coût (x ou y dans le cas du bateau , x, y, z ou ΔV dans le cas de la source ponctuelle à l'origine de la déformation) les allèles d'un gène : toutes les valeurs que peut prendre un paramètre un individu : une combinaison d'un allèle de chaque gène (on considérera des individus haploïdes) le fitness (ou succès) d'un individu : la valeur de la fonction coût (misfit) pour l'individu 1 - Initialisation : tirage au hasard d'individus pour la première itération 2 - calcul du fitness : on calcule la fonction coût pour chaque nouvel individu 3 - sélection naturelle : sélection des individus ayant le fitness le plus bas 4 - croisement et reproduction : on recombine les gènes des individus sélectionnés pour produire de nouveaux individus. Cette recombinaison se fait de manière aléatoire en tirant les allèles au hasard parmis les individus sélectionnés à l'étape précédente. 5 - mutation : on modifie chaque allèle de chaque enfant en lui ajoutant une valeur aléatoire, permettant de créer de la diversité dans la population 6 - calcul du fitness : retour à l'étape 2 Ainsi, itération après itération, les modèles calculés convergent vers une solution minimisant de plus en plus la fonction coût. Dans le cas de la source ponctuelle, on aboutit à un modèle (au sens de combinaison de paramètres) permettant de reproduire au mieux les déplacements observés.

C'est le code source des logiciels, écrit en langage python, qui est directement distribué. Le code source est un simple fichier texte qu'un humain peut lire et comprendre, mais qu'une machine est incapable de comprendre en tant que tel. Pour pouvoir faire tourner le logiciel, une machine doit traduire ce fichier texte en un langage qu'elle peut comprendre (mais qu'un humain ne peut pas comprendre). Cette étape de traduction en langage machine est appelé compilation Pour pouvoir compiler un code, une machine doit disposer d'une sorte de dictionnaire, qui permettra de transformer chaque instruction du code source. C'est le rôle de Python, qui permettra à la machine de comprendre les codes sources écrits en langage Python Les codes sources distribués contiennent des instructions plus variées que ce que Python est capable de compiler seul. L'installation de Python seul ne suffira pas, il faudra la compléter avec l'installation de différentes bibliothèques, nécessaires au fonctionnement du logiciel Il existe plusieurs distributions de python contenant des assemblages variés de bibliothèques. La distribution Python(x,y) contient un ensemble de bibliothèques utiles pour la programmation scientifique. Cette distribution contient l'ensemble des bibliothèques nécessaires au bon fonctionnement des logiciels que j'ai développés. Il existe différentes versions de Python(x,y). Nous utiliserons la version Python(x,y)-2.7.5.1, mise à disposition ici Il existe des versions plus récentes de Python(x,y), mais le fonctionnement des logiciels avec ces versions n'a pas été testé. Après avoir téléchargé le fichier, double cliquez sur le *.exe, puis suivez les étapes ci-dessous

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L'installation complète permet d'assurer la prise en compte automatique de tous les modules nécessaires. Beaucoup de modules non indispensables sont aussi installés, mais les dépendances entre modules sont difficiles à gérer manuellement, ce qui peut aboutir au non-fonctionnement des logiciels. Ces modules peuvent être supprimés manuellement ulterieurement.

Le mieux est de laisser les répertoires d'installation par défaut. Cette étape sera répétée plusieurs fois

L'installation peut durer quelques minutes. Il peut sembler que la barre de progression s'arrête, mais ce n'est pas le cas. Certains modules sont simplement plus long à installer que d'autres.

Vous n'aurez pas à utiliser d'interface graphique avec Python(x,y). Cette installation permet juste de pouvoir lancer un logiciel écrit sous python. En revanche, il vous est possible maintenant d'écrire et faire tourner des scripts python. A titre indicatif, IDLE est un petit editeur python bien pratique. Pour lancer les logiciels, il suffit de double cliquer sur le fichier du programme à lancer (*.py). Dans ce cas, un shell (fenêtre noire) s'ouvre. Il ne faut pas la fermer, ceci fermerait aussi les interfaces graphiques. Une autre possibilité consiste à ouvrir le fichier dans un éditeur Python (idle ou Spyder, installés avec Python(x,y)), et à lancer le script (en général, F5) Il peut arriver que le shell se referme puis que plus rien ne se passe. Dans ce cas, c'est qu'il y a un problème dans les paquets de Python(x,y) (manque d'un dll ou autre) Si celà arrive : ouvrir le fichier dans un éditeur Python (idle), et à lancer le script (en général, F5). Un terminal s'ouvrira, et lancera le script. L'erreur en question apparaitra en rouge. Copiez la et envoyez la moi par mail, j'essaierai de régler le problème. En général les distributions linux contiennent déjà différentes versions de python, qu'il ne sera pas nécessaire d'installer. Les programmes ont été écrits sous Python 2.7, leur fonctionnement sous python 3.x n'est pas garanti. Ils nécessitent de nombreux modules qui n'ont pas encore été portés sous 3.x. On fera l'installation en lignes de commandes. Ouvrez un terminal et collez y les codes donnés quand vous y serez invités. sudo apt-get update sudo apt-get install python2.7 Numpy, scipy et matplotlib sont des paquets adaptés à la programmation scientifique, indispensables mais qui ne sont pas installés par défaut avec python. Afin d'assurer une installation cohérente de ces paquets, on va installer "spyder", qui est un éditeur python adapté pour la programmation scientifique, et qui contient déjà ces paquets compatibles entre eux. sudo apt-get update sudo apt-get install spyder Certains logiciels nécessitent d'autres paquets pour fonctionner. Installation de mayavi (gestionnaire de vues 3D, wrapper python de VTK), networkX (nécessaire pour certains logiciels) et gdal (bibliothèque utile pour l'utilisation de données géographiques). sudo apt-get install mayavi2 sudo apt-get install python-networkX sudo apt-get install python-gdal PyQT4 est le module permettant de gérer les interface graphique. Il n'est pas entièrement libre (mais est gratuit). Quand cela est possible j'ai préféré utilisé Pyside qui est 100% libre, et qui gère aussi la librairie Qt. On va donc installer les deux. Pour PyQt4 : sudo apt-get -y install python-qt4 Pour pyside, les paquets ne sont pas disponibles directement avec apt. Il faut ajouter un dépôt de logiciels, puis l'installer. Configuration du repository PPA : sudo add-apt-repository ppa:pyside sudo apt-get update Installation : sudo apt-get install python2.7-pyside Deux solutions : soit on ouvre le script principal dans Spyder (ou IDLE), puis F5 pour lancer le script, soit on lance le script en ligne de commande dans une console cd /le/repertoire/contenant/le/code python le_nom_du_script.py